A topological interpretation of complex analytic behaviors of algebraic functions

Abstract

This thesis aims to establish a topological result on algebraic functions satisfying a particular class of trinomial algebraic equation defining a complex algebraic curve. For this purpose, in the first chapter, we review some basic concepts of special functions namely, gamma and beta functions with the necessary properties to be used in the upcoming chapters. In Chapter 2, we briefly recall Gauss' hypergeometric function, which can be considered as a base case for a more general study presented in the third chapter. In Chapter 3, the first four sections are devoted to a review of well-known topological concepts in the literature. Starting from Section 5, we derive the Mellin-Barnes integral representations of solutions to a trinomial algebraic equation. The derivation of the integral representations of solutions is presented with the aid of tools introduced in the first two chapters. Then, we investigate the analytic continuations of the solutions along specified loops around branching points of the algebraic functions in question. In the last section, with the aid of the integral representations of solutions, we formulate the braid monodromy of algebraic functions in terms of rational twists that yield a classical Artin braid representation. Our method gives a precise description of the braid monodromy of algebraic functions with the aid of Mellin-Barnes integral representations. Thanks to Mellin-Barnes integral representations it is possible to pursue the angular movements of algebraic functions and to describe them in terms of rational twists. This enables us to deduce the Galois group of the algebraic equation in question after relating twist description with Artin braid representation.

Bu tez, karmaşık bir cebirsel eğriyi tanımlayan üç terimli cebirsel denklemi sağlayan cebirsel fonksiyonlar üzerinde topolojik bir sonuç elde etmeyi hedeflemektedir. Bu amaç doğrultusunda, ilk bölümde özel fonksiyonlar kavramları ve sonraki ünitelerde kullanılacak bazı temel özellikleri gözden geçirilmiştir. İkinci bölümde, daha sonraki üniteler için genel bir bakış açısı sunan Gauss hipergeometrik fonksiyonu kısaca tanıtılmıştır. Ünite üç içinde, ilk dört bölüm literatürde iyi bilinen topolojik kavramların gözden geçirilmesine ayrılmıştır. Beşinci bölümden başlayarak üç terimli cebirsel denklemin çözümlerinin Mellin-Barnes integral temsilleri elde edilmiştir. Çözümlerin bu integral temsillerinin elde edilmesinde ilk iki ünitede tanıtılan araçlar kullanılmıştır. Daha sonra, bahsi geçen cebirsel fonksiyonların, dallanma(çatallanma) noktaları etrafından dolanan döngüler boyunca analitik uzanımları incelenmiştir. Son bölümde, çözümlerin integral temsilleri yardımı ile cebirsel fonksiyonların örgü monodromisi klasik Artin örgü grubu ile ilişiği verilebilen rasyonel burulmalar cinsinden ifade edilmiştir. Yöntemimiz sayesinde cebirsel fonksiyonların örgü monodromisini Mellin-Barnes integrallerin temsil yardımını kullanarak kesin bir şekilde tarif etmektedir. Mellin-Barnes integral temsilleri sayesinde cebirsel fonksiyonların açısal hareketlerini rasyonel burulmalar cinsinden tarif edebiliyoruz. Bu sonuç, burulma tariflerini Artin örgü temsili ile ilişkilendirdikten sonra bahsi geçen cebirsel denklemin Galois grubunu elde etmemize olanak sağlamaktadır.